北海道江別市の生まれ。北海学園大学経済学部在学中の1994年、学内の演劇研究会で出会った森崎博之らとともに劇団“TEAM NACS”を結成。その演劇活動が、札幌を拠点にしていた劇団“OOPARTS”主宰の鈴井貴之に認められ、鈴井の下で、95年の北海道テレビの深夜番組『モザイクな夜V3』から芸能活動を開始する。翌96年にスタートした同局『水曜どうでしょう』が北海道のみならず全国各地でも放映されて爆発的人気を呼び、大泉は一躍全国区で認知される存在となった。その後、テレビ朝日の深夜バラエティ『パパパパパフィー』99の準レギュラーで全国ネットにも進出。俳優としては、地元・札幌がロケ地の金子修介監督「ガメラ２／レギオン襲来」96に端役で出演していたが、2000年に鈴井が初監督をつとめた「man-hole」で実質的な映画デビューも飾る。鈴井とは続く「river」03、「銀のエンゼル」04でもタッグを組み、バラエティ番組などで見せる顔とは異なるシリアスな一面も発揮した。05年、フジテレビの人気ドラマ『救命病棟24時』の第３シリーズにレギュラー出演して、俳優業でも全国区の人気者に。フジテレビ『小早川伸木の恋』06、『暴れん坊ママ』07、『ロス：タイム：ライフ』08、日本テレビ『ハケンの品格』07などドラマのオファーが相次ぎ、日本テレビ『赤鼻のセンセイ』08では主役もつとめた。映画も、本木克英監督「ゲゲゲの鬼太郎」07・08でネズミ男を見事な説得力で演じ、内田けんじ監督「アフタースクール」08などでも好演。11年、札幌が舞台のミステリー小説を映画化した橋本一監督「探偵はBARにいる」に主演し、作品のヒットとともに北海道出身のタレントとしての矜持を示した。また、スタジオジブリに『水曜どうでしょう』のファンがいたことが縁で宮崎駿監督「千と千尋の神隠し」01に番頭蛙役で起用されると、以降もさまざまなアニメーション作品などで声優として活躍している。09年、『救命病棟24時』『ロス：タイム：ライフ』で組んだフジテレビの中島久美子プロデューサーと結婚。一女がある。