1961年、幼い娘カレンを病気で亡くした空軍のテストパイロット、ニール・アームストロング（ライアン・ゴズリング）は、悲しみから逃げるように、NASAのジェミニ計画の宇宙飛行士に応募する。1962年、宇宙飛行士に選ばれたニールは、妻ジャネット（クレア・フォイ）と長男を伴ってヒューストンへ。有人宇宙センターでの訓練と講義を受けることに。指揮官のディーク・スレイトンは、世界の宇宙計画をリードするソ連すら到達していない“月”を目指すと宣言。月に到達する小型船と帰還のための母船のドッキングを実証するジェミニ計画が成功すれば、月面に着陸するアポロ計画へと移行することが決まる。やがて、ハードな訓練を乗り越え、絆を結ぶ飛行士たち。その中には、エリオット・シー（パトリック・フュジット）やエド・ホワイト（ジェイソン・クラーク）がいた。そんなある日、ソ連が人類初の船外活動に成功。またしても先を越されてしまう。1966年、ニールは、ジェミニ8号の船長として史上初のドッキングを命じられる。代わりにその任務から外されたエリオットが、訓練機の墜落事故で死亡。友の無念を胸に、デイヴ・スコット（クリストファー・アボット）と2人、ジェミニ8号で飛び立ったニールは、アジェナ目標機とのドッキングに成功。ジェミニの回転が止まらなくなる事故に遭遇しながらも、冷静な判断で危機を脱する。こうして、アポロ計画へと移行し、パイロットにはエドが選ばれる。だが1967年、アポロの内部電源テスト中に火災が発生。エドと2人の乗組員が死亡する事故に。アポロ計画が世間の非難を浴びていた1969年、月に着陸するアポロ11号の船長にニールが任命される。乗組員は、バズ・オルドリン（コリー・ストール）と、マイク・コリンズ（ルーカス・ハース）の2人。家族と別れたニールたち3人は、ついに未知の世界へと飛び立つ……。